YBC 7289 montre la racine carrée de deux
On attribue aux Mésopotamiens l'invention des mathématiques. Les habitants de la Mésopotamie ont développé les mathématiques il y a environ 5 000 ans. Les premières mathématiques étaient essentiellement une forme de comptage, et servaient à compter des choses comme les moutons, les récoltes et les marchandises échangées. Plus tard, elles ont été utilisées pour résoudre des problèmes plus sophistiqués liés à l'irrigation et peut-être à l'architecture. À la fin de la période babylonienne, elles étaient utilisées pourrésoudre des problèmes astrologiques et géométriques compliqués.
Les connaissances mathématiques considérables des Babyloniens ont été mises au jour par le mathématicien autrichien Otto E. Neugebauer, décédé en 1990. Depuis lors, les chercheurs se sont attachés à comprendre comment ces connaissances étaient utilisées. Les collections archéologiques de Columbia, Yale et de l'Université de Pennsylvanie ont permis d'éclairer cette question.
Kenneth Chang a écrit dans le New York Times : "Les premiers mathématiciens babyloniens, qui vivaient entre 1800 et 1600 avant J.-C., avaient compris, par exemple, comment calculer l'aire d'un trapèze, et même comment diviser un trapèze en deux trapèzes plus petits d'aire égale. Pour la plupart, les Babyloniens utilisaient leurs compétences mathématiques pour des calculs banals, comme déterminer la taille d'une parcelle de terrain de 1,5 million d'hectares.Dans les années 1950, un mathématicien et historien des sciences austro-américain, Otto E. Neugebauer, en a décrit deux" [Source : Kenneth Chang, New York Times, 28 janvier 2016].
Le théorème dit de Pythagore ("la somme de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des carrés des deux autres côtés") était connu des Sumériens dès 2000 avant J.-C. Une tablette cunéiforme de Tell Hamal, datée de 1800 avant J.-C., montre un tableau algébrique et géométrique avec des triangles décrits par des lignes perpendiculaires tirées de l'angle droit à l'hypoténuse.problème algébrique-géométrique portant sur un rectangle dont l'aire de la diagonale est donnée et dont il faut déterminer la longueur et la largeur. Il s'agit également de tablettes avec des équations quadratiques.
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Sites web et ressources sur la Mésopotamie : Ancient History Encyclopedia ancient.eu.com/Mesopotamia ; Mésopotamie site de l'Université de Chicago mesopotamia.lib.uchicago.edu ; British Museum mesopotamia.co.uk ; Internet Ancient History Sourcebook : Mesopotamia sourcebooks.fordham.edu ; Louvre louvre.fr/llv/oeuvres/detail_periode.jsp ; Metropolitan Museum of Art metmuseum.org/toah ; University of Pennsylvania Museum of Archaeology andAnthropologie penn.museum/sites/iraq ; Oriental Institute of University of Chicago uchicago.edu/museum/highlights/meso ; Iraq Museum Database oi.uchicago.edu/OI/IRAQ/dbfiles/Iraqdatabasehome ; Article Wikipedia ; ABZU etana.org/abzubib ; Oriental Institute Virtual Museum oi.uchicago.edu/virtualtour ; Treasures from the Royal Tombs of Ur oi.uchicago.edu/museum-exhibits ; AncientArt du Proche-Orient Metropolitan Museum of Art www.metmuseum.org
Nouvelles et ressources en matière d'archéologie : Anthropology.net anthropology.net : sert la communauté en ligne intéressée par l'anthropologie et l'archéologie ; archaeologica.org archaeologica.org est une bonne source de nouvelles et d'informations sur l'archéologie. Archaeology in Europe archeurope.com propose des ressources éducatives, du matériel original sur de nombreux sujets archéologiques et des informations sur les événements archéologiques, les voyages d'étude, les excursions et les visites de terrain.des cours d'archéologie, des liens vers des sites Web et des articles ; le magazine Archaeology archaeology.org propose des nouvelles et des articles sur l'archéologie et est une publication de l'Archaeological Institute of America ; Archaeology News Network archaeologynewsnetwork est un site Web d'information communautaire sur l'archéologie, à but non lucratif, en ligne et en accès libre ; British Archaeology magazine british-archaeology-magazine est un site Web d'information sur l'archéologie.excellente source publiée par le Council for British Archaeology ; Current Archaeology magazine archaeology.co.uk est produit par le principal magazine d'archéologie du Royaume-Uni ; HeritageDaily heritagedaily.com est un magazine en ligne sur le patrimoine et l'archéologie, qui met en lumière les dernières nouvelles et les nouvelles découvertes ; Livescience livescience.com/ : site Web scientifique général avec beaucoup de contenu archéologique et des informations sur l'archéologie.Past Horizons : magazine en ligne couvrant l'actualité de l'archéologie et du patrimoine ainsi que d'autres domaines scientifiques ; The Archaeology Channel archaeologychannel.org explore l'archéologie et le patrimoine culturel par le biais de médias en continu ; Ancient History Encyclopedia ancient.eu : est publié par une organisation à but non lucratif et comprend des articles sur la préhistoire ; Best of History Websitesbesthistorysites.net est une bonne source de liens vers d'autres sites ; Essential Humanities essential-humanities.net : fournit des informations sur l'histoire et l'histoire de l'art, y compris des sections sur la préhistoire.
Le système numérique des Mésopotamiens était basé sur des multiples de 6 et 10. La première série de chiffres était basée sur dix comme la nôtre, mais la suivante était basée sur des multiples de six pour obtenir 60 et 600. Personne ne sait pourquoi il était basé sur des multiples de six. Peut-être est-ce parce que le nombre 60 peut être divisé par de nombreux nombres : 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 20 et 30.
Les Sumériens ont développé un système numérique basé sur 60. Le système numérique en base 6 est la raison pour laquelle les Babyloniens ont choisi 12 mois au lieu de 10 pour leur calendrier et pourquoi les heures et les minutes sont divisées en 60 unités et pourquoi nous avons des dizaines et un cercle a 360 degrés. Les astronomes babyloniens connaissaient le vrai nombre de jours dans une année, mais l'ont maintenu à 360 parce qu'on croyait que ce nombre était possédé.avec des propriétés magiques.
Les Babyloniens ont conçu le système de division d'un cercle en 360 degrés (certains disent que ce sont les Assyriens qui ont été les premiers à diviser le cercle). Le petit cercle comme signe pour un degré était probablement à l'origine un hiéroglyphe pour le soleil de l'Égypte ancienne. Un cercle était utilisé par les anciens astronomes babyloniens et égyptiens pour encercler le zodiaque. Le degré était une façon de diviser un cercle et de désigner les degrés.Ce n'est donc pas un hasard si le nombre de degrés d'un cercle (360) correspond aux jours de l'année dans le calendrier babylonien.
Question d'examen de mathématiques sur le calcul de l'aire d'un carré
J J O'Connor et E F Robertson ont écrit : Sous les Sumériens, "l'écriture s'est développée et le comptage était basé sur un système sexagésimal, c'est-à-dire en base 60. Vers 2300 avant J.-C., les Akkadiens ont envahi la région et, pendant un certain temps, la culture plus arriérée des Akkadiens s'est mélangée à la culture plus avancée des Sumériens. Les Akkadiens ont inventé l'abaque comme outil de comptage et ils ont développé un peu plus d'un système de comptage.des méthodes arithmétiques maladroites avec l'addition, la soustraction, la multiplication et la division jouant toutes un rôle. [Source : J J J O'Connor et E F Robertson, Université de St. Andrews, décembre 2000 ==]
À propos de l'utilisation des mathématiques dans les systèmes d'irrigation des premières civilisations de la Mésopotamie, Kazuo Muroi écrit : "C'était une tâche importante pour les souverains de Mésopotamie de creuser des canaux et de les entretenir, car les canaux n'étaient pas seulement nécessaires pour l'irrigation, mais aussi utiles pour le transport des marchandises et des armées.de calculer le nombre d'ouvriers et de jours nécessaires à la construction d'un canal, et de calculer les dépenses totales de salaires des ouvriers. ==
"Il existe plusieurs textes mathématiques de l'ancienne Babylone dans lesquels sont demandées diverses quantités concernant le creusement d'un canal : YBC 4666, 7164 et VAT 7528, tous écrits en sumérien ..., et YBC 9874 et BM 85196, n° 15, écrits en akkadien ..... Du point de vue mathématique, ces problèmes sont comparativement simples". ==
Nicholas Wade a écrit dans le New York Times : "Les mathématiques sumériennes étaient un système sexagésimal, c'est-à-dire qu'elles étaient basées sur le nombre 60. Le système "est frappant par son originalité et sa simplicité", a déclaré le mathématicien Duncan J. Melville de l'université St. Lawrence, à Canton, N.Y. Une table de multiplication de 59 x 59 peut ne pas sembler simple, et est en effet beaucoup trop grande pour être mémorisée, c'est pourquoi des tablettes étaient nécessaires pour fournir des informations sur le système.Mais les nombres cunéiformes sont simples à écrire car chacun d'eux est une combinaison de deux symboles seulement, ceux de 1 et de 10. [Source : Nicholas Wade, New York Times, 22 novembre 2010 ^=^].
"La raison pour laquelle les Sumériens ont choisi 60 comme base de leur système de numération n'est pas connue avec certitude. L'idée semble s'être développée à partir d'un système antérieur, plus complexe, connu depuis 3200 avant J.-C., dans lequel les positions d'un nombre alternaient entre 6 et 10 comme bases. Pour un système qui pourrait sembler encore plus détraqué, s'il n'était pas si familier, considérez cette façon de mesurer la longueur avec quatre éléments totalement différentsbases : 12 petites unités, appelées pouces, font un pied, 3 pieds font un yard, et 1,760 yards font un mile. ^=^
"Au cours d'un millier d'années, la méthode sumérienne à base alternée a été simplifiée pour devenir le système sexagésimal, le même symbole représentant 1, 60 ou 3 600, selon sa place dans le nombre, a expliqué le Dr Melville, tout comme 1 dans le système décimal représente 1, 10 ou 100, selon sa place.temps : le "1:12:33" sur une horloge d'ordinateur signifie 1 (x 60-carré) seconde + 12 (x 60) secondes + 33 secondes." ^=^
un autre examen de mathématiques similaire à celui ci-dessus
En plus de fournir un support pour la première écriture, les tablettes d'argile cunéiformes ont été le premier support d'enregistrement à être utilisé dans l'éducation. Nicholas Wade a écrit dans le New York Times : Beaucoup des 13 tablettes exposées en 2010 à l'Institute for the Study of Ancient World, qui fait partie de l'Université de New York, étaient "des exercices d'étudiants apprenant à être scribes". Leur situation n'était pas enviable. Ils étaientmaîtriser les mathématiques à partir de textes en sumérien, une langue qui, même à l'époque, était déjà morte depuis longtemps. Les étudiants parlaient l'akkadien, une langue sémitique sans rapport avec le sumérien, mais les deux langues étaient écrites en cunéiforme, ce qui signifie en forme de coin, d'après la forme des marques faites en enfonçant un roseau dans l'argile. [Source : Nicholas Wade, New York Times, 22 novembre 2010 ^=^]
"Elles comprennent deux tablettes célèbres, connues sous les noms de YBC 7289 et Plimpton 322, qui ont joué un rôle central dans la reconstruction des mathématiques babyloniennes. YBC 7289 est un petit disque d'argile contenant une esquisse grossière d'un carré et de ses diagonales. Sur l'une des diagonales est griffonné 1,24,51,10 - un nombre sexagésimal qui correspond au nombre décimal 1,41421296. Oui, vous l'avez reconnu tout de suite - leracine carrée de 2. En fait, c'est une approximation, une très bonne approximation, de la vraie valeur, 1,41421356.^=^
"La réponse à ce problème, à savoir le calcul de la diagonale d'un carré dont les côtés sont de 0,5 unité, se trouve ci-dessous. Cela nous amène à la question de savoir si les Babyloniens avaient découvert le théorème de Pythagore quelque 1 300 ans avant Pythagore. Aucune tablette ne porte l'équation algébrique bien connue, à savoir que les carrés des deux petits côtés d'un triangle rectangle sont égaux au carré de l'unité.Mais le Plimpton 322 contient des colonnes de nombres qui semblent avoir été utilisés pour calculer les triples de Pythagore, des ensembles de nombres qui correspondent aux côtés et à l'hypoténuse d'un triangle rectangle, comme 3, 4 et 5. ^=^
"On pense que Plimpton 322 a été écrit à Larsa, juste au nord d'Ur, environ 60 ans avant la prise de la ville par le législateur Hammurabi en 1762 avant J.-C. D'autres tablettes contiennent des listes de problèmes pratiques, comme le calcul de la largeur d'un canal, compte tenu des informations sur ses autres dimensions, le coût de son creusement et le salaire quotidien d'un ouvrier.l'explication, donnant l'impression qu'ils étaient pour le spectacle, une possession destinée à faire passer le propriétaire pour un universitaire." ^=^
J.J. O'Connor et E.F. Robertson ont écrit : "Les Babyloniens avaient un système de numération avancé, à certains égards plus avancé que nos systèmes actuels. Il s'agissait d'un système positionnel avec une base de 60 plutôt que le système avec une base de 10 largement utilisé aujourd'hui" [Source : J.J. O'Connor et E.F. Robertson, Université de St. Andrews, décembre 2000].
"Les Babyloniens divisaient le jour en 24 heures, chaque heure en 60 minutes, chaque minute en 60 secondes. Cette forme de comptage a survécu pendant 4000 ans. Écrire 5h 25' 30", c'est-à-dire 5 heures, 25 minutes, 30 secondes, revient à écrire la fraction sexagésimale 5 25/60 30/3600. Nous adoptons la notation 5 ; 25, 30 pour ce nombre sexagésimal... En fraction de base 10, le nombre sexagésimal 5 ; 25, 30 est 54/10 2/100 5/1000 qui s'écrit 5,425 en notation décimale. ==
"L'aspect le plus étonnant des capacités de calcul des Babyloniens était peut-être la construction de tables d'aide au calcul. Deux tablettes découvertes à Senkerah sur l'Euphrate en 1854 datent de 2000 avant J.-C. Elles donnent les carrés des nombres jusqu'à 59 et les cubes des nombres jusqu'à 32. La table donne 82 = 1,4, ce qui signifie 82 = 1, 4 = 1 × 60 + 4 = 64 et ainsi de suite jusqu'à 592 = 58, 1 (= 58 × 60 +1 = 3481).==
"Les Babyloniens utilisaient la formule ab = [(a + b)2 - a2 - b2]/2 pour faciliter les multiplications. Encore mieux, leur formule ab = [(a + b)2 - (a - b)2]/4 qui montre qu'un tableau de carrés suffit pour multiplier des nombres, en prenant simplement la différence des deux carrés consultés dans le tableau puis en prenant un quart de la réponse. ==
"La division est un processus plus difficile. Les Babyloniens n'avaient pas d'algorithme pour la division longue, mais ils basaient leur méthode sur le fait que a/b = a × (1/b), de sorte que tout ce qui était nécessaire était une table de réciprocités. Nous avons encore leurs tables de réciprocités allant jusqu'aux réciprocités des nombres jusqu'à plusieurs milliards. Bien sûr, ces tables sont écrites dans leurs chiffres, mais en utilisant la notation sexagésimaleque nous avons introduit ci-dessus, ==
"Le tableau comportait des lacunes, car 1/7, 1/11, 1/13, etc. ne sont pas des fractions finies en base 60. Cela ne signifie pas que les Babyloniens ne pouvaient pas calculer 1/13, par exemple. Ils écrivaient 1/13 = 7/91 = 7 × (1/91) = (environ) 7 × (1/90) et ces valeurs, par exemple 1/90, étaient indiquées dans leurs tableaux. En fait, on trouve des traces fascinantes de l'acceptation par les Babyloniens du fait que la division par 7 entraîneraitUn scribe donnerait un nombre proche de 1/7 et écrirait ensuite des déclarations telles que (voir par exemple [5]):-
Chiffres babyloniens
J J O'Connor et E F Robertson ont écrit : "Les mathématiques babyloniennes allaient bien au-delà des calculs arithmétiques. Dans notre article sur le théorème de Pythagore dans les mathématiques babyloniennes, nous avons examiné certaines de leurs idées géométriques ainsi que certaines idées de base de la théorie des nombres. Dans cet article, nous examinons maintenant l'algèbre que les Babyloniens ont développée, en particulier les problèmes qui ont conduit à des équations et leurssolution. [Source : J J O'Connor et E F Robertson, Université de St. Andrews, décembre 2000 ==]
"Nous avons noté plus haut que les Babyloniens étaient réputés pour leur capacité à construire des tables. Or, celles-ci pouvaient être utilisées pour résoudre des équations. Par exemple, ils construisaient des tables pour n3 + n2 puis, à l'aide de ces tables, certaines équations cubiques pouvaient être résolues. Par exemple, considérons l'équation ax3 + bx2 = c. Soulignons tout de suite que nous utilisons une notation moderne et rien de tel qu'une représentation symbolique existante.Néanmoins, les Babyloniens pouvaient traiter des exemples numériques de telles équations en utilisant des règles qui indiquent qu'ils avaient le concept d'un problème typique d'un type donné et une méthode typique pour le résoudre. Par exemple, dans le cas ci-dessus, ils auraient (dans notre notation) multiplié l'équation par a2 et l'auraient divisée par b3 pour obtenir (ax/b)3 + (ax/b)2 = ca2/b3. En mettant y = ax/b, cela donnedonne l'équation y3 + y2 = ca2/b3 qui peut maintenant être résolue en consultant la table n3 + n2 pour la valeur de n satisfaisant n3 + n2 = ca2/b3. Lorsqu'une solution a été trouvée pour y, x a été trouvé par x = by/a. Nous soulignons à nouveau que tout ceci a été fait sans notation algébrique et montre une profondeur remarquable de compréhension. ==
"Là encore, on aurait consulté une table pour résoudre l'équation linéaire ax = b. On consulterait la table 1/n pour trouver 1/a, puis on multiplierait par b le nombre sexagésimal donné dans la table. Voici un exemple de problème de ce type : supposons, écrit un scribe, que l'on prenne 2/3 de 2/3 d'une certaine quantité d'orge, que l'on ajoute 100 unités d'orge et que l'on retrouve la quantité initiale.Le problème posé par le scribe est de trouver la quantité d'orge. La solution donnée par le scribe est de calculer 0 ; 40 fois 0 ; 40 pour obtenir 0 ; 26, 40. Soustraire ce résultat de 1 ; 00 pour obtenir 0 ; 33, 20. Chercher l'inverse de 0 ; 33, 20 dans une table pour obtenir 1;48. Multiplier 1;48 par 1,40 pour obtenir la réponse 3,0. ==
"Il n'est pas facile de comprendre les calculs du scribe si nous ne les traduisons pas en notation algébrique moderne. Nous devons résoudre 2/3× 2/3 x + 100 = x, ce qui, comme le scribe le savait, équivaut à résoudre (1 - 4/9)x = 100. C'est pourquoi le scribe a calculé 2/3 × 2/3 et a soustrait la réponse de 1 pour obtenir (1 - 4/9), puis a cherché 1/(1 - 4/9) et ainsi x a été trouvé à partir de 1/(1 - 4/9) multiplié par100 donnant 180 (qui est 1 ; 48 fois 1, 40 pour obtenir 3, 0 en sexagésimal). ==
"Pour résoudre une équation quadratique, les Babyloniens utilisaient essentiellement la formule standard. Ils considéraient deux types d'équations quadratiques, à savoir x2 + bx = c et x2 - bx = c, où b et c étaient des nombres positifs mais pas nécessairement entiers. La forme que prenaient leurs solutions était, respectivement, x = v[(b/2)2 + c] - (b/2) et x = v[(b/2)2 + c] + (b/2). Remarquez que dans chaque cas, il s'agit de la racine positive de l'équation quadratique.deux racines du quadratique et celle qui aura un sens dans la résolution de problèmes "réels". Par exemple, les problèmes qui conduisaient les Babyloniens à des équations de ce type concernaient souvent l'aire d'un rectangle. Par exemple, si l'aire est donnée et que la quantité par laquelle la longueur dépasse la largeur est donnée, alors la largeur satisfait une équation quadratique et ils appliqueraient alors la première version de laformule ci-dessus. ==
"Un problème sur une tablette de l'époque de l'ancienne Babylone stipule que l'aire d'un rectangle est de 1, 0 et que sa longueur dépasse sa largeur de 7. L'équation x2 + 7x = 1, 0 n'est, bien sûr, pas donnée par le scribe qui trouve la réponse comme suit : calculer la moitié de 7, à savoir 3 ; 30, la mettre au carré pour obtenir 12 ; 15. À cela, le scribe ajoute 1, 0 pour obtenir 1 ; 12, 15. Prendre sa racine carrée (dans un tableau de carrés) pour obtenir 8 ; 30.Soustrayez 3 ; 30 pour obtenir la réponse 5 pour la largeur du triangle. Remarquez que le scribe a effectivement résolu une équation du type x2 + bx = c en utilisant x = v[(b/2)2 + c] - (b/2). ==
"Dans [10], Berriman donne 13 exemples typiques de problèmes conduisant à des équations quadratiques, tirés de tablettes de l'ancienne Babylone. Si les problèmes impliquant l'aire de rectangles conduisent à des équations quadratiques, alors les problèmes impliquant le volume d'une excavation rectangulaire (une "cave") conduisent à des équations cubiques. La tablette d'argile BM 85200+, contenant 36 problèmes de ce type, est la plus ancienne tentative connue d'établir des équations quadratiques.Hoyrup discute de cette tablette fascinante dans [26]. Bien sûr, les Babyloniens ne sont pas parvenus à une formule générale pour résoudre les cubiques. Il faudra attendre plus de trois mille ans avant de la trouver." ==
J.J. O'Connor et E.F. Robertson ont écrit : " Il est certain qu'en ce qui concerne leur système de numération, les Babyloniens ont hérité des idées des Sumériens et des Akkadiens. C'est à partir des systèmes de numération de ces peuples antérieurs qu'est née la base de 60, c'est-à-dire le système sexagésimal. Cependant, ni le système sumérien ni le système akkadien n'était un système positionnel et cette avancée des Babyloniens a sans doute été leur plus grande réussite ".Certains diront qu'il s'agit de leur plus grande réussite dans le domaine des mathématiques. [Source : J J O'Connor et E F Robertson, Université de St. Andrews, décembre 2000 ==] "Souvent, lorsqu'on leur dit que le système numérique babylonien était en base 60, la première réaction des gens est de se dire qu'ils ont dû apprendre beaucoup de symboles numériques spéciaux. Bien sûr, ce commentaire est basé sur le fait que les Babyloniens n'avaient pas de base 60.sur la connaissance de notre propre système décimal qui est un système positionnel avec neuf symboles spéciaux et un symbole zéro pour indiquer une place vide. Cependant, plutôt que d'avoir à apprendre 10 symboles comme nous le faisons pour utiliser nos nombres décimaux, les Babyloniens n'ont eu à apprendre que deux symboles pour produire leur système positionnel en base 60. Or, bien que le système babylonien soit un système positionnel en base 60, il avait quelques vestigesEn effet, les 59 nombres qui entrent dans l'un des emplacements du système ont été construits à partir d'un symbole d'unité et d'un symbole de dizaine.
"Par exemple, le nombre décimal 12345 représente 1 × 104 + 2 × 103 + 3 × 102 + 4 × 10 + 5. Si l'on y réfléchit, c'est peut-être illogique, car nous lisons de gauche à droite, et lorsque nous lisons le premier chiffre, nous ne connaissons pas sa valeur avant d'avoir lu le nombre complet pour trouver combien de puissances deLe système babylonien de positionnement sexagésimal place les nombres selon la même convention, ainsi la position la plus à droite est pour les unités jusqu'à 59, la position une à gauche est pour 60 × n où 1 = n = 59, etc. Nous adoptons maintenant une notation où nous séparons les chiffres par des virgules, ainsi, par exemple, 1,57,46,40 représente le nombre sexagésimal 1 × 603 + 57 × 602 + 46 ×60 + 40, ce qui, en notation décimale, donne 424000." ==
Manuel de mathématiques babylonien
J.J. O'Connor et E.F. Robertson ont écrit : "Il y a maintenant un problème potentiel avec le système. Puisque deux est représenté par deux caractères représentant chacun une unité, et que 61 est représenté par un caractère pour une unité en premier lieu et un second caractère identique pour une unité en second lieu, alors les nombres sexagésimaux babyloniens 1, 1 et 2 ont essentiellement la même représentation. Cependant,Ce n'était pas vraiment un problème puisque l'espacement des caractères permettait de faire la différence. Dans le symbole du 2, les deux caractères représentant l'unité se touchent et deviennent un seul symbole. Dans le nombre 1,1, il y a un espace entre eux. [Source : J J J O'Connor et E F Robertson, Université de St. Andrews, décembre 2000].
"Un problème beaucoup plus sérieux était le fait qu'il n'y avait pas de zéro à mettre dans une position vide. Les nombres sexagésimaux 1 et 1,0, c'est-à-dire 1 et 60 en décimales, avaient exactement la même représentation et maintenant il n'y avait aucun moyen que l'espacement puisse aider. Le contexte l'indiquait clairement, et en fait, bien que cela semble très insatisfaisant, les Babyloniens n'auraient pas pu le trouver ainsi. Comment pouvons-nousEh bien, s'ils avaient vraiment trouvé que le système leur présentait de réelles ambiguïtés, ils auraient résolu le problème - il y a peu de doute qu'ils avaient les compétences nécessaires pour trouver une solution si le système était inapplicable. Peut-être devrions-nous mentionner ici que les civilisations babyloniennes ultérieures ont inventé un symbole pour indiquer un endroit vide, donc l'absence de zéro n'aurait pas pu être totalement évidente.satisfaisant pour eux. ==
"Une place vide au milieu d'un nombre leur posait également des problèmes. Bien que ce ne soit pas un commentaire très sérieux, il est peut-être utile de remarquer que si nous supposons que tous nos chiffres décimaux ont la même probabilité dans un nombre, il y a une chance sur dix qu'il y ait une place vide, alors que pour les Babyloniens, avec leur système sexagésimal, il y avait une chance sur soixante. Pour en revenir aux places vides au milieu deles numéros que l'on peut voir dans des exemples réels où cela se produit. ==
"Voici un exemple tiré d'une tablette cunéiforme (actuellement AO 17264 dans la collection du Louvre à Paris) dans laquelle le calcul pour élever au carré 147 est effectué. En sexagésimal 147 = 2,27 et l'élévation au carré donne le nombre 21609 = 6,0,9. Voici l'exemple babylonien de 2,27 élevé au carré. Peut-être le scribe a-t-il laissé un peu plus d'espace que d'habitude entre le 6 et le 9 qu'il ne l'aurait fait s'il avait représenté...6,9.
J J O'Connor et E F Robertson ont écrit : "Si l'espace vide posait un problème avec les nombres entiers, il y avait un problème encore plus grand avec les fractions sexagésimales babyloniennes. Les Babyloniens utilisaient un système de fractions sexagésimales similaire à nos fractions décimales. Par exemple, si nous écrivons 0,125, cela donne 1/10 + 2/100 + 5/1000 = 1/8. Bien sûr, une fraction de la forme a/b, dans sa forme la plus basse, peut êtrereprésentée comme une fraction décimale finie si et seulement si b n'a pas de diviseurs premiers autres que 2 ou 5. Ainsi, 1/3 n'a pas de fraction décimale finie. De même, la fraction sexagésimale babylonienne 0;7,30 représentait 7/60 + 30/3600, ce qui, encore une fois, s'écrit dans notre notation, soit 1/8. [Source : J J J O'Connor et E F Robertson, Université de St. Andrews, décembre 2000].
"Puisque 60 est divisible par les nombres premiers 2, 3 et 5, un nombre de la forme a/b, dans sa forme la plus basse, peut être représenté comme une fraction décimale finie si et seulement si b n'a pas de diviseurs premiers autres que 2, 3 ou 5. Il y a donc plus de fractions qui peuvent être représentées comme des fractions sexagésimales finies que comme des fractions décimales finies. Certains historiens pensent que cette observation a un rapport direct avec la raison pour laquelle l'Union européenne a été créée.Les Babyloniens ont développé le système sexagésimal, plutôt que le système décimal, mais cela semble un peu improbable. Si c'était le cas, pourquoi ne pas avoir 30 comme base ? Nous discutons ce problème en détail ci-dessous. ==
"Nous avons déjà suggéré la notation que nous utiliserons pour désigner un nombre sexagésimal avec une partie fractionnaire. Pour illustrer 10,12,5;1,52,30 représente le nombre 10 × 602 + 12 × 60 + 5 + 1/60 + 52/602 + 30/603 qui, dans notre notation, est 36725 1/32. C'est bien, mais nous avons introduit la notation du point-virgule pour montrer où se termine la partie entière et où commence la partie fractionnaire. C'est le"Cependant, les Babyloniens n'avaient pas de notation pour indiquer où se terminait la partie entière et où commençait la partie fractionnaire. Il y a donc eu beaucoup d'ambiguïté et la philosophie "le contexte rend les choses claires" semble aujourd'hui assez tendue. Si j'écris 10,12,5,1,52,30 sans avoir de notation pour le "point sexagésimal", alors cela pourrait êtresignifie l'un des éléments suivants : 0;10,12, 5, 1,52,30 ; 10;12, 5, 1,52,30 ; 10,12 ; 5, 1,52,30 ; 10,12, 5 ; 1,52,30 ; 10,12, 5, 1;52,30 ; 10,12, 5, 1,52;30 ; 10,12, 5, 1,52,30 ; 10,12, 5, 1,52,30 en plus, bien sûr, de 10, 12, 5, 1, 52, 30, 0 ou 0 ; 0, 10, 12, 5, 1, 52, 30, etc.
Plimpton 322
J.J. O'Connor et E.F. Robertson ont écrit : "Enfin, nous devrions nous pencher sur la question de savoir pourquoi les Babyloniens avaient un système de nombres avec une base de 60. La réponse facile est qu'ils ont hérité la base de 60 des Sumériens, mais ce n'est pas une réponse du tout. Cela nous amène seulement à nous demander pourquoi les Sumériens ont utilisé la base 60. La première remarque serait que nous n'avons pas besoin de remonter plus loin, car nous pouvons être pratiquement certains queLe deuxième point à souligner est que les mathématiciens modernes n'ont pas été les premiers à se poser de telles questions. Théon d'Alexandrie a tenté de répondre à cette question au quatrième siècle de notre ère et de nombreux historiens des mathématiques ont émis une opinion depuis lors, sans qu'aucune réponse ne soit vraiment convaincante [Source : J J J O'Connor et E F Robertson, St.Université d'Andrews, décembre 2000 ==]
"La réponse de Theon était que 60 était le plus petit nombre divisible par 1, 2, 3, 4 et 5 et que le nombre de diviseurs était donc maximisé. Bien que cela soit vrai, la raison semble trop simple. Une base de 12 semblerait être un candidat plus probable si c'était la raison, mais aucune civilisation majeure ne semble avoir trouvé cette base. D'un autre côté, de nombreuses mesures impliquent 12, par exemple, il apparaît fréquemment dans les formules suivantesles poids, l'argent et les subdivisions de longueur. Par exemple, dans les anciennes mesures britanniques, il y avait douze pouces dans un pied, douze pennies dans un shilling etc. ==
"Bien que le chiffre 5 ne soit pas aussi courant que le chiffre 10 comme base de calcul chez les peuples anciens, il n'est pas rare et est clairement utilisé par des personnes qui comptaient sur les doigts d'une main et qui commençaient ensuite à compter.Cette théorie suppose alors que, lorsque les deux peuples se sont mélangés et que les deux systèmes de comptage ont été utilisés par les différents membres de la société qui commerçaient entre eux, la base 60 s'est imposée naturellement comme le système que tout le monde comprenait. ==
"J'ai entendu proposer la même théorie, mais selon laquelle les deux peuples qui se sont mélangés pour donner naissance aux Sumériens avaient 10 et 6 comme bases numériques. Cette version présente l'avantage qu'il existe une unité naturelle pour 10 dans le système babylonien, dont on pourrait dire qu'il s'agit d'un vestige du système décimal antérieur. L'un des aspects les plus intéressants de ces théories est qu'il est peut-être possible de trouver des preuves écrites de l'existence de cette théorie.les deux systèmes de mélange et donner ainsi ce qui équivaudrait essentiellement à une preuve de la conjecture. Ne considérez pas l'histoire comme un sujet mort. Au contraire, nos points de vue changent constamment à mesure que les dernières recherches apportent de nouvelles preuves et de nouvelles interprétations." ==
J J O'Connor et E F Robertson ont écrit : "Neugebauer a proposé une théorie basée sur les poids et mesures utilisés par les Sumériens. Son idée est qu'un système de comptage décimal a été modifié en base 60 pour permettre de diviser les poids et mesures en tiers. Nous savons certainement que le système de poids et mesures des Sumériens utilise 1/3 et 2/3 comme fractions de base. Cependant, bien que le système de poids et mesures des Sumériens utilise 1/3 et 2/3 comme fractions de base, le système de poids et mesures des Sumériens n'a pas été modifié.Si Neugebauer a peut-être raison, le contre-argument serait que le système des poids et mesures est une conséquence du système des nombres et non l'inverse [Source : J J J O'Connor et E F Robertson, Université de St. Andrews, décembre 2000 ==] "Plusieurs théories ont été basées sur des événements astronomiques. La suggestion selon laquelle 60 est le produit du nombre de mois dans l'année (lunes par an) avec le nombre d'années de l'an.Le nombre de planètes (Mercure, Vénus, Mars, Jupiter, Saturne) semble encore une fois farfelu pour expliquer la base 60. L'historien des mathématiques Moritz Cantor a suggéré que l'année comptait 360 jours pour expliquer la base 60. Là encore, l'idée n'est pas très convaincante puisque les Sumériens savaient certainement que l'année comptait plus de 360 jours. Une autre hypothèse porte sur le fait queque le soleil parcourt son diamètre 720 fois au cours d'une journée et, avec 12 heures sumériennes dans une journée, on peut arriver à 60. ==
"Certaines théories sont basées sur la géométrie. Par exemple, selon une théorie, le triangle équilatéral était considéré comme l'élément géométrique de base par les Sumériens. Or, l'angle d'un triangle équilatéral est de 60°, donc s'il était divisé en 10, un angle de 6° deviendrait l'unité angulaire de base. Or, il y a soixante de ces unités de base dans un cercle, donc à nouveau, nous avons la raison proposée pour l'existence de l'unité angulaire de base.en choisissant 60 comme base. Remarquez que cet argument se contredit presque lui-même puisqu'il suppose que 10 est l'unité de base pour la division ! ==
"Je [EFR] pense que toutes ces raisons ne méritent pas d'être prises au sérieux. J'ai peut-être un peu monté mon propre argument, mais l'expression "choisir 60 comme base" que je viens d'utiliser est très significative. Je ne crois tout simplement pas que quelqu'un ait jamais choisi une base numérique pour une quelconque civilisation. Pouvez-vous imaginer que les Sumériens aient mis en place un comité pour décider de leur base numérique ?La raison doit être liée à la façon dont le comptage est apparu dans la civilisation sumérienne, tout comme 10 est devenu une base dans d'autres civilisations qui ont commencé à compter sur leurs doigts, et vingt est devenu une base pour ceux qui comptaient à la fois sur leurs doigts et leurs orteils. ==
"Voici une façon dont cela aurait pu se produire. On peut compter jusqu'à 60 en utilisant ses deux mains. Sur votre main gauche, il y a trois parties sur chacun des quatre doigts (à l'exception du pouce). Les parties sont séparées les unes des autres par les articulations des doigts. Maintenant, on peut compter jusqu'à 60 en pointant l'une des douze parties des doigts de la main gauche avec l'un des cinq doigts de la main droite. Cecidonne un moyen de compter les doigts jusqu'à 60 plutôt que jusqu'à 10. Quelqu'un est convaincu ? Une variante de cette proposition a été faite par d'autres personnes." ==
Kenneth Chang a écrit dans le New York Times : " Supposons qu'une rampe menant au sommet d'une ziggourat mesure 56 coudées et que la hauteur verticale de la ziggourat est de 45 coudées. Quelle est la distance x entre la base extérieure de la rampe et le point situé directement sous le sommet ? (Les ziggourats étaient des pyramides en terrasses construites dans l'ancien Moyen-Orient ; une coudée est une longueur de mesure égale à environ 18 pouces ou 44 centimètres).Les Babyloniens, qui vivaient dans ce qui est aujourd'hui l'Irak il y a plus de 3 700 ans, pouvaient-ils résoudre un tel problème ? Deux mathématiciens australiens affirment qu'une ancienne tablette d'argile était un outil permettant de résoudre des problèmes de trigonométrie, qui s'ajoutait peut-être aux nombreuses techniques maîtrisées par les mathématiciens babyloniens.Daniel F. Mansfield de l'Université de New South Wales. Le Dr Mansfield et son collègue Norman J. Wildberger ont fait part de leurs découvertes dans la revue Historia Mathematica. [Source : Kenneth Chang, New York Times 29 août 2017 ^ ]
"La tablette, connue sous le nom de Plimpton 322, a été découverte au début des années 1900 dans le sud de l'Irak et a longtemps suscité l'intérêt des chercheurs. Elle contient 60 nombres organisés en 15 lignes et quatre colonnes inscrits sur un morceau d'argile d'environ 5 pouces de large et 3,5 pouces de haut. Elle a fini par entrer dans la collection de George Arthur Plimpton, un éditeur américain, qui a ensuite fait don de sa collection à l'université Columbia.Avec toute cette publicité, la tablette a été exposée à la bibliothèque des livres rares et des manuscrits de l'université. Sur la base du style d'écriture cunéiforme utilisé pour les chiffres, Plimpton 322 a été daté entre 1822 et 1762 avant Jésus-Christ.
"L'une des colonnes du Plimpton 322 n'est qu'une numérotation des rangées de 1 à 15. Les trois autres colonnes sont beaucoup plus intrigantes. Dans les années 1940, Otto E. Neugebauer et Abraham J. Sachs, historiens des mathématiques, ont fait remarquer que les trois autres colonnes étaient essentiellement des triples de Pythagore - des ensembles d'entiers, ou de nombres entiers, qui satisfont à l'équation a2 + b2 = c2. Cette équation représente également uneLa propriété fondamentale des triangles droits, à savoir que le carré du côté le plus long, ou hypoténuse, est la somme des carrés des deux autres côtés les plus courts, est remarquable en soi, étant donné que le mathématicien grec Pythagore, qui a donné son nom aux triangles, ne devait pas naître avant mille ans. ^
Solution au problème ci-dessus : "Un Babylonien confronté au problème de la ziggourat aurait pu le résoudre facilement : un triangle rectangle dont le grand côté, ou hypoténuse, mesure 56 coudées et l'un des petits côtés 45 coudées. Ensuite, le résolveur du problème aurait pu calculer le rapport 56/45, soit environ 1,244, puis chercher l'entrée la plus proche dans le tableau, à savoir la ligne 11, qui indique le rapport 1,25.À partir de cette ligne, un calcul simple permet d'obtenir une réponse de 33,6 coudées. Dans leur article, M. Mansfield et M. Wildberger montrent que ce résultat est meilleur que celui qui serait calculé à l'aide d'une table trigonométrique du mathématicien indien Madhava, 3 000 ans plus tard. De nos jours, une personne munie d'une calculatrice peut rapidement obtenir une réponse un peu plus précise : 33,3317.
Kenneth Chang a écrit dans le New York Times : "La raison pour laquelle les Babyloniens ont compilé les triples et les ont notés est restée un sujet de débat. Une interprétation était que cela aidait les enseignants à générer et à vérifier les problèmes pour les étudiants. Le Dr Mansfield, qui cherchait des exemples de mathématiques anciennes pour intriguer ses étudiants, est tombé sur Plimpton 322 et a trouvé les explications précédentes insatisfaisantes."D'autres chercheurs ont émis l'hypothèse qu'à l'origine, la tablette comportait des colonnes supplémentaires énumérant les rapports des côtés (il y a une rupture le long du côté gauche de la tablette). [Source : Kenneth Chang, New York Times 29 août 2017 ^ ]
"Le Dr Wildberger, voisin du Dr Mansfield, avait proposé dix ans plus tôt d'enseigner la trigonométrie en termes de ratios plutôt que d'angles, et tous deux se demandaient si les Babyloniens avaient adopté une approche similaire de la trigonométrie, sans angle.C'est possible", a déclaré Alexander R. Jones, directeur de l'Institute for the Study of the Ancient World de l'université de New York, qui n'a pas participé à la recherche, "mais nous n'avons pas beaucoup de contextes d'utilisation des tablettes babyloniennes qui confirmeraient une telle intention, et cela reste donc plutôt spéculatif". ^
"Eleanor Robson, experte de la Mésopotamie aujourd'hui à l'University College de Londres, qui a proposé l'idée que la tablette soit un guide de l'enseignant, n'est pas convaincue. Bien qu'elle ait refusé toute interview, elle a écrit sur Twitter que l'interprétation de la trigonométrie ne tient pas compte du contexte historique. L'argument le plus fort en faveur de l'hypothèse des docteurs Mansfield et Wildberger est sans doute que la tablette sert àdes calculs trigonométriques, que quelqu'un avait fait l'effort de générer des triplets de Pythagore pour décrire des triangles rectangles à des incréments d'environ un degré. "On ne fait pas une table trigonométrique par hasard", a déclaré le Dr Mansfield. "Avoir une liste de triplets de Pythagore ne vous aide pas beaucoup. C'est juste une liste de nombres. Mais quand vous l'organisez de telle manière que vous pouvez utiliser n'importe quel rapport connud'un triangle pour trouver les autres côtés d'un triangle, alors cela devient de la trigonométrie. C'est ce à quoi nous pouvons utiliser ce fragment."" ^
Les Babyloniens semblent avoir connu le théorème de Pythagore - l'axiome géométrique euclidien qui stipule que le carré de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés - d'après l'examen de quatre tablettes babyloniennes. La traduction de l'une de ces tablettes, qui se trouve maintenant au British Museum, est la suivante : "4 est leLa longueur et 5 la diagonale. Quelle est la largeur ? Sa taille n'est pas connue. 4 fois 4 font 16, 5 fois 5 font 25. Vous enlevez 16 de 25 et il reste 9. Quelles fois dois-je prendre pour obtenir 9 ? 3 fois 3 font 9. 3 est la largeur." Les quatre tablettes proviennent à peu près de la même période, la période de l'ancienne Babylone, 1900 avant J.-C. à 1600 avant J.-C. [Source : J J J O'Connor et E F Robertson, Université de St Andrews,Décembre 2000 ==]
Les quatre tablettes ont été appelées tablette de Yale YBC 7289, Plimpton 322, tablette de Susa et tablette de Tell Dhibayi. J J O'Connor et E F Robertson ont écrit : "Il n'y a aucun problème à comprendre ce dont il s'agit sur la tablette de Yale YBC 7289. Elle présente le diagramme d'un carré de 30 sur un côté, les diagonales sont dessinées et près du centre sont écrits 1,24,51,10 et 42,25,35.écrit en chiffres babyloniens en base 60. Voir notre article sur les chiffres babyloniens. Les chiffres babyloniens sont toujours ambigus et aucune indication n'est donnée quant à la fin de la partie entière et au début de la partie fractionnaire. En supposant que le premier chiffre est 1 ; 24,51,10, la conversion en décimal donne 1,414212963 et v2 = 1,414213562. En calculant 30 × [ 1;24,51,10 ], on obtient 42;25,35, soitle deuxième nombre. La diagonale d'un carré de côté 30 est trouvée en multipliant 30 par l'approximation de v2. ==
"Cela montre une bonne compréhension du théorème de Pythagore. Cependant, la question de savoir comment les Babyloniens ont trouvé cette remarquable approximation de v2 est encore plus importante. Plusieurs auteurs conjecturent que les Babyloniens ont utilisé une méthode équivalente à la méthode de Heron. La suggestion est qu'ils ont commencé par une estimation, disons x. Ils ont ensuite trouvé e = x2 - 2 qui est l'erreur. Alors (x - e/2x)2 = x2 - e +(e/2x)2 = 2 + (e/2x)2 et ils ont obtenu une meilleure approximation puisque si e est petit, alors (e/2x)2 sera très petit. En continuant le processus avec cette meilleure approximation de v2, on obtient une encore meilleure approximation et ainsi de suite. En fait, comme Joseph le souligne dans [4], on n'a besoin que de deux étapes de l'algorithme si on commence avec x = 1 pour obtenir l'approximation 1;24,51,10. ==
"C'est certainement possible et la compréhension des quadratiques par les Babyloniens ajoute un certain poids à cette affirmation. Cependant, il n'y a aucune preuve de l'utilisation de l'algorithme dans d'autres cas et son utilisation ici ne doit rester qu'une possibilité assez éloignée. Puis-je [EFR] suggérer une alternative. Les Babyloniens ont produit des tables de carrés, en fait, toute leur compréhension de la multiplication était construiteSi le carré est supérieur à 2, remplacez alors b par cette meilleure limite, tandis que si le carré est inférieur à 2, remplacez alors a par (a + b)/2. Continuez avec l'algorithme".
J.J. O'Connor et E.F. Robertson ont écrit : Plimpton 322 "a quatre colonnes et 15 rangées. La dernière colonne est la plus simple à comprendre car elle donne le numéro de la rangée et contient donc 1, 2, 3, ... , 15. Le fait remarquable que Neugebauer et Sachs ont souligné dans [5] est que dans chaque rangée, le carré du nombre c dans la colonne 3 moins le carré du nombre b dans la colonne 2 est un carré parfait, c'est-à-dire h. c2 - b2 =Américain Le tableau est donc une liste de triples entiers de Pythagore. Ce n'est pas tout à fait vrai, car Neugebauer et Sachs pensent que le scribe a fait quatre erreurs de transcription, deux dans chaque colonne, et cette interprétation est nécessaire pour que la règle fonctionne. Les erreurs sont facilement visibles comme étant de véritables erreurs, cependant, par exemple 8,1 a été copié par le scribe comme 9,1. [Source : J J J O'Connor et E FRobertson, Université de St. Andrews, décembre 2000 ==]
"La première colonne est plus difficile à comprendre, d'autant plus qu'une partie de la tablette a été endommagée. Cependant, en utilisant la notation ci-dessus, on voit que la première colonne est juste (c/h)2. Jusqu'ici tout va bien, mais si l'on écrivait les triplés de Pythagore, on en trouverait des beaucoup plus faciles que ceux qui apparaissent dans le tableau. Par exemple, le triplé de Pythagore 3, 4, 5 n'apparaît pas.5, 12, 13 non plus et, en fait, le plus petit triplet pythagoricien qui apparaît est 45, 60, 75 (15 fois 3, 4, 5). De plus, les lignes n'apparaissent pas dans un ordre logique, si ce n'est que les nombres de la colonne 1 diminuent régulièrement. L'énigme est donc de savoir comment les nombres ont été trouvés et pourquoi ces triplets pythagoriciens particuliers sont donnés dans le tableau. ==
"Plusieurs historiens ont suggéré que la colonne 1 est liée à la fonction sécante. Zeeman a fait une observation fascinante. Il a fait remarquer que si les Babyloniens utilisaient les formules h = 2mn, b = m2-n2, c = m2+n2 pour générer les triples de Pythagore, alors il y a exactement 16 triples satisfaisant n = 60, 30° = t = 45°, et tan2t = h2/b2 ayant une expansion sexagésimale finie (ce qui équivaut àOr, 15 des 16 triplés pythagoriciens qui satisfont aux conditions de Zeeman apparaissent dans Plimpton 322. S'agit-il du premier théorème de classification mathématique connu ? Bien que je ne puisse pas croire que Zeeman ait tout à fait raison, je pense que son explication est sur la bonne voie.
Par exemple, Exarchakos affirme que la tablette est liée à la résolution d'équations quadratiques et n'a rien à voir avec les triples de Pythagore : "nous prouvons que dans cette tablette, il n'y a aucune preuve que les Babyloniens connaissaient le théorème de Pythagore et que les Babyloniens ne connaissaient pas les triples de Pythagore".Je pense que ces arguments sont faibles, d'autant plus que de nombreuses tablettes montrent que les Babyloniens de cette époque avaient une bonne compréhension du théorème de Pythagore. D'autres auteurs, tout en admettant que le Plimpton 322 est un recueil de triades pythagoriciennes, ont soutenu qu'elles avaient, comme l'écrit Viola, une utilité pratique en donnant une : " méthode générale pour la détermination des triades de Pythagore ".le calcul approximatif des aires des triangles.'' ==
J J O'Connor et E F Robertson ont écrit : "La tablette de Suse pose un problème concernant un triangle isocèle dont les côtés sont 50, 50 et 60. Le problème consiste à trouver le rayon du cercle passant par les trois sommets. Ici, nous avons étiqueté le triangle A, B, C et le centre du cercle est O. La perpendiculaire AD est tracée à partir de A pour rencontrer le côté B.C. Maintenant, le triangle ABD est un triangle à angle droit, donc, en utilisant la méthode de l'angle droit, nous pouvons déterminer le rayon du cercle.Théorème de Pythagore AD2 = AB2 - BD2, donc AD = 40. Soit le rayon du cercle x. Alors AO = OB = x et OD = 40 - x. En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore sur le triangle OBD, nous avons x2 = OD2 + DB2. Donc x2 = (40-x)2 + 302, ce qui donne x2 = 402 - 80x + x2 + 302 et donc 80x = 2500 ou, en sexagésimal, x = 31;15. [Source : J J J O'Connor et E F Robertson, Université de St Andrews, décembre 2000].
"Enfin, considérons le problème de la tablette Tell Dhibayi. Il demande les côtés d'un rectangle dont l'aire est de 0,45 et la diagonale de 1,15. Pour nous, c'est un exercice assez facile de résolution d'équations. Si les côtés sont x, y, nous avons xy = 0,75 et x2 + y2 = (1,25)2. Nous substituerions y = 0,75/x à la deuxième équation pour obtenir un quadratique en x2 qui est facile à résoudre. Cependant, ce n'est pasLa manière dont la tablette de Tell Dhibayi résout le problème est, à mon avis, bien plus intéressante que la méthode moderne. ==
"Voici la méthode de la tablette Tell Dhibayi. Nous conservons la notation moderne x et y pour chaque étape pour plus de clarté mais nous effectuons les calculs en notation sexagésimale (comme le fait bien sûr la tablette). Calculez 2xy = 1;30. Soustrayez de x2 + y2 = 1;33,45 pour obtenir x2 + y2 - 2xy = 0;3,45. Prenez la racine carrée pour obtenir x - y = 0;15. Divisez par 2 pour obtenir (x - y)/2 = 0;7,30. Divisez x2 + y2 - 2xy = 0;3,45 par 4.pour obtenir x2/4 + y2/4 - xy/2 = 0;0,56,15. Ajouter xy = 0;45 pour obtenir x2/4 + y2/4 + xy/2 = 0;45,56,15. Prendre la racine carrée pour obtenir (x + y)/2 = 0;52,30. Ajouter (x + y)/2 = 0;52,30 à (x - y)/2 = 0;7,30 pour obtenir x = 1. Soustraire (x - y)/2 = 0;7,30 de (x + y)/2 = 0;52,30 pour obtenir y = 0;45. ==
"Par conséquent, le rectangle a des côtés x = 1 et y = 0,45. N'est-ce pas un beau morceau de mathématiques ? Rappelez-vous qu'il a 3750 ans. Nous devrions être reconnaissants aux Babyloniens d'avoir enregistré ce petit chef-d'œuvre sur des tablettes d'argile pour que nous puissions l'apprécier aujourd'hui." ==
J.J. O'Connor et E.F. Robertson ont écrit : "Au début de l'histoire, les nombres étaient considérés de manière beaucoup plus concrète que les concepts abstraits qui sont les nôtres aujourd'hui. Il y a des sauts mentaux gigantesques de 5 chevaux à 5 "choses", puis à l'idée abstraite de "cinq". Si les peuples anciens résolvaient un problème concernant le nombre de chevaux dont un fermier avait besoin, la réponse ne serait pas 0 ou -23.[Source : J J O'Connor et E F Robertson, Université de St. Andrews, décembre 2000 ==]
"On pourrait penser qu'une fois qu'un système de numération par valeur de place existe, le 0 comme indicateur de place vide est une idée nécessaire, mais les Babyloniens ont eu un système de numération par valeur de place sans cette caractéristique pendant plus de 1000 ans. De plus, il n'y a absolument aucune preuve que les Babyloniens pensaient qu'il y avait un problème avec l'ambiguïté qui existait. Remarquablement, des textes originaux survivent de l'époque duLes Babyloniens écrivaient sur des tablettes d'argile non cuites, en utilisant l'écriture cunéiforme. Les symboles étaient pressés sur des tablettes d'argile molle avec le bord incliné d'un stylet, ce qui leur donnait un aspect cunéiforme (d'où le nom de cunéiforme). De nombreuses tablettes datant d'environ 1700 avant J.-C. ont été conservées et nous pouvons lire les textes originaux. Bien entendu, leur notation des nombres était très différente de celle de l'anglais.Ce n'est qu'aux environs de 400 avant J.-C. que les Babyloniens ont placé deux symboles en forme de coin à l'endroit où nous mettrions le zéro pour indiquer ce que l'on voulait dire, 216 ou 21 '' 6 ''. ==
"Les deux coins n'étaient cependant pas la seule notation utilisée, et sur une tablette trouvée à Kish, une ancienne ville mésopotamienne située à l'est de Babylone dans ce qui est aujourd'hui le centre-sud de l'Irak, une notation différente est utilisée. Cette tablette, que l'on pense datée d'environ 700 avant J.-C., utilise trois crochets pour indiquer une place vide dans la notation positionnelle. D'autres tablettes datées de la même époque utilisent un seul crochet pour une place vide.Il y a une caractéristique commune à cette utilisation de différentes marques pour indiquer une position vide. C'est le fait qu'elle ne se produit jamais à la fin des chiffres mais toujours entre deux chiffres. Ainsi, bien que nous trouvions 21 '' 6, nous ne trouvons jamais 216 ''. On doit supposer que l'ancien sentiment que le contexte était suffisant pour indiquer ce qui était voulu s'applique toujours dans ces cas. ==
"Si cette référence au contexte semble stupide, il convient de noter qu'aujourd'hui encore, nous utilisons le contexte pour interpréter les chiffres. Si je prends un bus pour me rendre dans une ville voisine et que je demande quel est le prix du billet, je sais que la réponse "C'est trois cinquante" signifie trois livres cinquante pence. Pourtant, si la même réponse est donnée à la question sur le coût d'un vol d'Édimbourg à New York, je sais que trois cent cinquante euros est le prix du billet.Nous pouvons en déduire que l'utilisation précoce du zéro pour désigner un endroit vide n'est pas vraiment l'utilisation du zéro en tant que nombre, mais simplement l'utilisation d'une sorte de signe de ponctuation afin que les nombres aient une interprétation correcte. ==
"Les Grecs de l'Antiquité ont commencé à apporter leur contribution aux mathématiques à peu près au moment où le zéro, en tant qu'indicateur de lieu vide, commençait à être utilisé dans les mathématiques babyloniennes. Les Grecs n'ont cependant pas adopté un système de nombres positionnels. Il convient de réfléchir à la signification de ce fait. Comment les brillantes avancées mathématiques des Grecs n'ont-elles pas pu les amener à adopter un système de nombres avec toutes les caractéristiques de l'espace ?La véritable réponse à cette question est plus subtile que la réponse simple que nous allons donner, mais fondamentalement, les réalisations mathématiques grecques étaient basées sur la géométrie. Bien que les Éléments d'Euclide contiennent un livre sur la théorie des nombres, ils sont basés sur la géométrie. En d'autres termes, les mathématiciens grecs n'avaient pas besoin de nommer leurs nombres puisqu'ils étaient basés sur la géométrie.Les nombres qui devaient être nommés pour être enregistrés étaient utilisés par des marchands, et non par des mathématiciens, et ne nécessitaient donc pas de notation astucieuse".
Sources des images : Wikimedia Commons
Sources du texte : Internet Ancient History Sourcebook : Mesopotamia sourcebooks.fordham.edu , National Geographic, Smithsonian magazine, en particulier Merle Severy, National Geographic, mai 1991 et Marion Steinmann, Smithsonian, décembre 1988, New York Times, Washington Post, Los Angeles Times, Discover magazine, Times of London, Natural History magazine, Archaeology magazine, The New Yorker, BBC,Encyclopædia Britannica, Metropolitan Museum of Art, Time, Newsweek, Wikipedia, Reuters, Associated Press, The Guardian, AFP, Guides Lonely Planet, "World Religions" édité par Geoffrey Parrinder (Facts on File Publications, New York) ; "History of Warfare" par John Keegan (Vintage Books) ; "History of Art" par H.W. Janson Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J.), Compton's Encyclopedia et divers ouvrages.et d'autres publications.